Question

设矩阵A=【2,1,1;1,2,1;1,1,a】,向量a=【1,b,1】是矩阵A*的一个特征向量,求a和b

Answer 1

由定理,A*的特征向量也是A的特征向量.

所以存在λ使得 Aa=λa

即得

b+3 = λ

2b+2 = λb

a+b+1 = λ

由1,3式解得:a=2

且 2b+2 = b(b+3)

即 b^2+b-2 = 0

即 (b-1)(b+2)=0

所以 b=1 或 b=-2.

注:

设α是A*的属于特征值λ的特征向量

则 A*α=λα

所以 AA*α=λAα,即 |A|α=λAα

所以当A可逆时,Aα=(|A|/λ)α

所以α也是A的特征向量