已知函数f(x)=ax+blnx+c(a,b,c是常数)在x=e处的切线方程为(e-1)x+ey-e=0,且f(1)=0

1个回答

  • 解题思路:(Ⅰ)由

    f

    (x)=a+

    b

    x

    ,且

    f

    (e)=−

    e−1

    e

    ,且f(e)=2-e,即

    a+

    b

    e

    =−

    e−1

    e

    ,且ae+b+c=2-e,又f(1)=a+c=0,从而解出a,b,c的值;

    (Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=-x+lnx+1(x>0)因此,g(x)=x2+mf(x)=x2-mx+mlnx+m(x>0)得

    g

    (x)=2x−m+

    m

    x

    1

    x

    (2

    x

    2

    −mx+m)(x>0)

    ,令d(x)=2x2-mx+m(x>0),讨论(ⅰ)当函数g(x)在(1,3)内有一个极值时,(ⅱ)当函数g(x)在(1,3)内有两个极值时,从而综合得出m的范围.

    (Ⅰ)由题设知,f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=a+

    b

    x,

    因为f(x)在x=e处的切线方程为(e-1)x+ey-e=0,

    所以f′(e)=−

    e−1

    e,且f(e)=2-e,

    即a+

    b

    e=−

    e−1

    e,且ae+b+c=2-e,

    又f(1)=a+c=0,

    解得a=-1,b=1,c=1;

    (Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=-x+lnx+1(x>0)

    因此,g(x)=x2+mf(x)=x2-mx+mlnx+m(x>0)

    ∴g′(x)=2x−m+

    m

    x=

    1

    x(2x2−mx+m)(x>0),

    令d(x)=2x2-mx+m(x>0).

    (ⅰ)当函数g(x)在(1,3)内有一个极值时,

    g′(x)=0在(1,3)内有且仅有一个根,

    即d(x)=2x2-mx+m=0在(1,3)内有且仅有一个根,

    又因为d(1)=2>0,当d(3)=0,

    即m=9时,d(x)=2x2-mx+m=0在(1,3)内有且仅有一个根x=

    3

    2,

    当d(3)≠0时,应有d(3)<0,即2×32-3m+m<0,

    解得m>9,

    所以有m≥9.

    (ⅱ)当函数g(x)在(1,3)内有两个极值时,

    g′(x)=0在(1,3)内有两个根,

    即二次函数d(x)=2x2-mx+m=0在(1,3)内有两个不等根,

    所以

    △=m2−4×2×m>0+hfill

    d(1)=2−m+m>0+hfill

    d(3)=2×32−3m+m>0+hfill

    1<

    m

    4<3+hfill,

    解得8<m<9.

    综上,实数m的取值范围是(8,+∞).

    点评:

    本题考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程.

    考点点评: 本题考察了函数的单调性,函数的最值问题,参数的范围,导数的应用,考察了分类讨论思想,是一道综合题.