Question

设a1，a2，…，an是一组线性无关的n维向量，证明：任一n维向量都可由它们线性表示．

Answer 1

解题思路：首先，由向量的个数大于维数时，向量组线性相关；其次，由a₁，a₂，…，a_n是一组线性无关的n维向量，得到r（a₁，a₂，…，a_n，a）=r（a₁，a₂，…，a_n）=n，从而证明出结论．

证明：设a为任一n维向量．

因为a₁，a₂，…，a_n，a是n+1个n维向量，

所以a₁，a₂，…，a_n，a是线性相关的．

又因为a₁，a₂，…，a_n线性无关，

所以r（a₁，a₂，…，a_n，a）=r（a₁，a₂，…，a_n）=n

因而a能由a₁，a₂，…，a_n线性表示，且表示式是唯一的．

点评：

本题考点： 线性表示的充要条件；线性无关的概念．

考点点评： 此题考查向量组线性相关性的判定以及将向量由向量组线性表出转化为向量组的秩，是基础知识点的综合．