Question

已知二次函数f（x）=x2-16x+q+3

Answer 1

解题思路：（1）将q=1代入f（x）=x²-16x+q+3，由二次函数的单调性求得最值．

（2）先假设存在常数q，则有f（x）=x²-16x+q+3=（x-8）²+q-61，x∈[q，10]，按照二次函数求最值方法求解．

（1）q=1时，函数f（x）=x²-16x+4在区间[-1，1]上递减，

∴f_max（x）=f（-1）=21f_min（x）=f（1）=-11

（2）假设存在常数q（0＜q＜10），使得当x∈[q，10]时，f（x）的最小值为-51

∵f（x）=x²-16x+q+3=（x-8）²+q-61，x∈[q，10]

∴当0＜q＜8时，f（x）_min=q-61=-51，∴q=10∉（0，8）；

当q≥8时，f（x）在区间[q，10]上单调递增，f（x）_min=q²-15q+3=-51，解得q=6（舍去）或q=9

故存在常数q=9，使得当x∈[q，10]时，f（x）的最小值为-51．

点评：

本题考点： 函数的最值及其几何意义．

考点点评： 本次主要考查二次函数求最值和已知最值求参数的值或范围，两者方法一致．