∵f(x) = x²-16x+q+3开口向上,对称轴x=8
∴在区间[-1,1]单调减
∵在区间[-1,1]存在零点
∴f(-1)=1+16+q+3≥0并且f(1)=1-16+q+3≤0
即：q≥-20并且q≤12
∴q的取值范围：[-20,12]
第二问：
x∈[t,10],（t≥0）
假设8≤t＜10,此时函数单调增
最大值f(10)=100-160+q+3=q-57
最小值f(t)=t²-16t+q+3
最大值与最小值之差为12-t,即：
q-57-(t²-16t+q+3)=12-t
q-57-t²+16t-q-3=12-t
t²-17t+72=0
(t-8)(t-9)=0
t=8,或t=9
假设6≤t＜8
最大值f(10)=q-57
最小值=极值=f(8) = 64-128+q+3=q-61
最大值与最小值之差为12-t,即：
q-57-(a-61)=12-t
4=12-t
t=8（舍去）
假设0≤t＜6
最大值f(t)=t²-16t+q+3
最小值=极值=f(8) = 64-128+q+3=q-61
最大值与最小值之差为12-t,即：
t²-16t+q+3 - (q-61) = 12-t
t²-15t+52 = 0
t=(15+√17)/2＞6,舍去；t=(15-√17)/2
综上,存在实数t=(15-√17)/2,或t=8,或t=9,使在区间【t,10】上值域的宽度为12-t