Question

我的解法错在哪了?已知函数f(x)对于任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+2y(x+y),且f(1)=1,求f(x

Answer 1

你的两种解法里都有一步令x+y=1用以消除y,所以你的一切推理都建立在x+y=1的基础上,你的结果只在x+y=1的时候成立,当然不正确.

正确解法如下：

当x=1时：

f(1+y)=f(1)+2y(1+y)

即：f（1+x）=f(1)+2x(1+x)

当y=1时：

f（1+x）=f(x)+2(1+x)

上面两个等式相等,则：

f(x)+2+2x=f(1)+2x+2x^2

整理后：f(x)=2x^2-1