解题思路：根据一个分数的分子与分母都是正整数，且分子比分母小1，即可设分子是a，则分母是a+1，即可表示出这个分数，根据若分子和分母都减去1，则所得分数为小于[6/7]，即可列出不等式，即可求得a的值，进而求解．
设a是正整数，该分数表示为[a/a+1]．
依题意得：[a−1/a]＜[6/7]，
所以a可取1，2，3，4，5，6六个值．
因此，满足上述条件的分数共有五个：[2/3]，[3/4]，[4/5]，[5/6]，[6/7]．
故选A．
点评：
本题考点： 一元一次不等式的整数解；一元一次不等式组的应用．
考点点评： 本题主要考查了不等式的实际应用，正确列出不等式以及解不等式是解题关键．