解题思路：由题设，可推出f（0）=0，再利用在点x=0处的导数定义进行讨论即可．
显然x=0为g（x）的间断点，
又由f（x）为不恒等于零的奇函数知：f（0）=0．
于是有：
lim
x→0g(x)＝
lim
x→0
f(x)
x＝
lim
x→0
f(x)−f(0)
x−0＝f′(0)存在，
故：x=0为可去间断点．
故选：D．
点评：
本题考点： 导数的概念．
考点点评： 本题也可用反例排除，例如f（x）=x，则此时g(x)＝xx＝1x≠00x＝0可排除（A），（B），（C） 三项
若f（x）在x=x0处连续，则limx→x0f(x)x−x0＝A⇔f(x0)＝0，f′(x0)＝A．