Question

定积分求面积的问题求曲线(x-y)^2 + x^2 =a^2 (a>0)所围区域的面积

Answer 1

做变量代换,令u=x-y,那么方程变为x²+u²=a²,然后再作直角坐标系与圆之间的转换x=a*cosα,u=a*sinα,所以有x=a*cosα,y=x-u=a*(cosα-sinα).

因为曲线(x-y)^2 + x^2 =a^2 (a>0)所围区域为(x-y)^2 + x^2 ≤a^2 (a>0),得到tanα≥0.5.

再利用面积积分

=∫ydx=∫a*(cosα-sinα)d(a*cosα)=a²∫(cos²α-sinα*cosα)dα