Question

（2011•阜阳模拟）设函数f（x）=（ax-2）ex，a∈R，（e为自然对数的底数）．

Answer 1

解题思路：（I）先求出函数f（x）的导函数，然后根据在极值点处的导数等于0，建立等式关系，求出a即可；

（II）分别讨论a与0的大小，根据导函数的符号进行判断函数f（x）的单调性，使f'（x）＞0成立的是单调增区间，使f'（x）＜0成立的是单调减区间；

（III）a=1，当x∈[0，1]时，f'（x）=（x-1）e^x≤0，则f（x）单调减函数，从而f（t₁）-f（t₂）≤f_max（x）-f_min（x）=f（0）-f（1）=e-2，得到结论．

（Ⅰ）由已知f'（x）=（ax+a-2）e^x，f'（1）=0，∴a=1．

（Ⅱ）①当a=0时，f'（x）＜0，∴f（x）在R上是减函数．

②当a＞0时，x＞

2

a−1时，f'（x）＞0；x＜

2

a−1时，f'（x）＜0，

∴f（x）的单调增、减区间分别是(

2

a−1，+∞)，(−∞，

2

a−1)．

③当a＜0时，x＞

2

a−1时，f'（x）＜0；x＜

2

a−1时，f'（x）＞0，

∴f（x）的单调减、增区间分别是(

2

a−1，+∞)，(−∞，

2

a−1)．

（Ⅲ）∵a=1，当x∈[0，1]时，f'（x）=（x-1）e^x≤0，

∴f（x）单调减函数，

∴f（t₁）-f（t₂）≤f_max（x）-f_min（x）=f（0）-f（1）=e-2．

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评： 本题综合考查函数的极值以及利用导数研究函数的单调性，同时考查函数的最值的求解，是一道综合题．