(2011•阜阳模拟)设函数f(x)=(ax-2)ex,a∈R,(e为自然对数的底数).

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  • 解题思路:(I)先求出函数f(x)的导函数,然后根据在极值点处的导数等于0,建立等式关系,求出a即可;

    (II)分别讨论a与0的大小,根据导函数的符号进行判断函数f(x)的单调性,使f'(x)>0成立的是单调增区间,使f'(x)<0成立的是单调减区间;

    (III)a=1,当x∈[0,1]时,f'(x)=(x-1)ex≤0,则f(x)单调减函数,从而f(t1)-f(t2)≤fmax(x)-fmin(x)=f(0)-f(1)=e-2,得到结论.

    (Ⅰ)由已知f'(x)=(ax+a-2)ex,f'(1)=0,∴a=1.

    (Ⅱ)①当a=0时,f'(x)<0,∴f(x)在R上是减函数.

    ②当a>0时,x>

    2

    a−1时,f'(x)>0;x<

    2

    a−1时,f'(x)<0,

    ∴f(x)的单调增、减区间分别是(

    2

    a−1,+∞),(−∞,

    2

    a−1).

    ③当a<0时,x>

    2

    a−1时,f'(x)<0;x<

    2

    a−1时,f'(x)>0,

    ∴f(x)的单调减、增区间分别是(

    2

    a−1,+∞),(−∞,

    2

    a−1).

    (Ⅲ)∵a=1,当x∈[0,1]时,f'(x)=(x-1)ex≤0,

    ∴f(x)单调减函数,

    ∴f(t1)-f(t2)≤fmax(x)-fmin(x)=f(0)-f(1)=e-2.

    点评:

    本题考点: 利用导数研究函数的单调性;函数在某点取得极值的条件;导数在最大值、最小值问题中的应用.

    考点点评: 本题综合考查函数的极值以及利用导数研究函数的单调性,同时考查函数的最值的求解,是一道综合题.