Question

在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2-2x-3与坐标轴的交点都在圆C上．

Answer 1

解题思路：（1）求出曲线y=x²-2x-3与坐标轴的交点坐标，设出圆的一般方程，把点的坐标代入圆的一般方程列方程组求解系数，则答案可求；

（2）由点到直线的距离公式求出圆心到直线x+y+a=0的距离，利用弦心距、弦长与圆的半径之间的关系列式求解a的值．

（1）取x=0，得y=-3，曲线与y轴的交点是（0，-3）．

令y=0，得x²-2x-3=0，解得x=-1或x=3，

即曲线与x轴的交点是（-1，0），（3，0）．

设所求圆C的方程是x²+y²+Dx+Ey+F=0，

则

9−3E+F＝0

1−D+F＝0

9+3D+F＝0，解得：D=-2，E=2，F=-3．

∴圆C的方程是x²+y²-2x+2y-3=0；

（2）圆C的方程可化为（x-1）²+（y+1）²=（

5）²，

∴圆心C（1，-1），半径r=

5．

圆心C到直线x+y+a=0的距离d=

|1+(−1)+a|

2=

|a|

2．

由于d²+（[1/2]AB）²=r²，

∴（

|a|

点评：

本题考点： 直线和圆的方程的应用．

考点点评： 本题考查了圆的方程的求法，直线与圆的方程关系的应用，训练了点到直线的距离公式，是中档题．