Question

A,B都是n阶矩阵,B,A-E可逆,且(A-E)^-1=(B-E)^T,证明矩阵A也可逆.

Answer 1

如果A的特征值是λ1,λ2,...,λn,与之相应的B的特征值是μ1,μ2,...,μn,那么

(λk-1)^{-1}=μk-1

若λk=0则μk=0,B不可逆,矛盾.所以A没有零特征值.

或者直接变形,求出A(A-E)^{-1}=E+(A-E)^{-1}=B^T.