已知函数f(x)=1/ax^3+1/2x^2-(2+2a)x+b.若y=f(x)在[-2,0]上存在极值点,求a的取值范

3个回答

  • f'(x)=0在[-2,0]上有实数解原题等价于f'(x)=0在[-2,0]上至少有一个实数解.

    f'(x)=3/ax^2+x-(2+2a),

    f'(x)=0在[-2,0]上至少有一个有实数解,问题转化为对二次函数根的个数的研究问题.

    正向求解太复杂,至少有一个实数解的逆向即没有实数解,求出后求补集即可.

    令g(x)=f'(x)=3/ax^2+x-(2+2a),x∈[-2,0],对称轴x'=-a/6.

    当a>0时,无实解即g(-2)>0,x'=-a/6<-2或g(0)>0,x'=-a/6>0,

    解得a<-1,补集即a≥-1,所以a>0.

    当a<0时,无实解即g(-2)<0,x'=-a/6<-2或g(0)<0,x'=-a/6>0,

    解得a∈(-1,0),补集即(-∞,-1].

    综上,a的取值范围即(-∞,-1]∪(0,+∞).