Question

己知函数f(x)= 1/3ax^3+1/2x^2-（2-2a)+b,若y=f(x)在[-2,正无穷)上存在极值点,求实数

Answer 1

f'(x)=0在[-2,0]上有实数解原题等价于f'(x)=0在[-2,0]上至少有一个实数解.

f'(x)=3/ax^2+x-(2+2a),

f'(x)=0在[-2,0]上至少有一个有实数解,问题转化为对二次函数根的个数的研究问题.

正向求解太复杂,至少有一个实数解的逆向即没有实数解,求出后求补集即可.

令g(x)=f'(x)=3/ax^2+x-(2+2a),x∈[-2,0],对称轴x'=-a/6.

当a＞0时,无实解即g(-2)＞0,x'=-a/6＜-2或g(0)＞0,x'=-a/6＞0,

解得a＜-1,补集即a≥-1,所以a＞0.

当a＜0时,无实解即g(-2)＜0,x'=-a/6＜-2或g(0)＜0,x'=-a/6＞0,

解得a∈(-1,0),补集即(-∞,-1].

综上,a的取值范围即(-∞,-1]∪(0,+∞).