Question

已知直线与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于D，点D的坐标为（2，1），则p的

Answer 1

解题思路：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由直线OD斜率为[1/2]，OD⊥AB，知直线AB方程为2x+y-5=0，代入抛物线方程得y²+py-5p=0，从而得到y₁y₂=-5p，再由OA⊥OB，能求出p．

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

∵直线OD斜率为[1/2]，OD⊥AB，∴直线AB斜率为-2，

故直线AB方程为2x+y-5=0…（1）

将（1）代入抛物线方程得y²+py-5p=0，

则y₁y₂=-5p，

∵y12=2px₁，y22=2px₂，

则（y₁y₂）²=4p²x₁x₂，

故x₁x₂=[25/4]，

∵OA⊥OB

∴x₁x₂+y₁y₂=0，

∵p＞0，∴p=[5/4]．

故选C．

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的关系．

考点点评： 本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．