Question

设f（x）在[a，b]上不为常数，且有二阶连续导数，满足f（a）=f（b），f′+（a）=0．证明：

Answer 1

证明：（1）反证法：设f（x）在（a，b）内无拐点．

不失一般性，设在（a，b）内恒有f″（x）＞0，

则f′（x）严格单调增加．

由于f′₊（a）=0，所以在（a，b）内f′（x）＞0．

从而f（x）严格单调增加，故f（b）＞f（a），

与f（a）=f（b）矛盾．

因此存在c∈（a，b），（c，f（c））为曲线的拐点．

（2）构造辅助函数：g（x）=

f(x)−f(a)

x−a，a＜x≤b

0，x＝a，

则g（a）=g（b）=0．

因为

lim

x→a+g(x)=

lim

x→a+

f(x)−f(a)

x−a=f′₊（a）=0，

所以g（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导．

因为g（a）=g（b）=0，

故由罗尔定理可得，∃ξ∈（a，b），使得g′（ξ）=0，

即

f′(ξ)(ξ−a)−[f(ξ)−f(a)]

(ξ−a)2=0，

从而有f′（ξ）=

f(ξ)−f(a)

ξ−a．