Question

设f(x)在[a,b]上二阶可导,且f''(x)>0,证明:函数F(x)=(f(x)-f(a))/(x-a)在(a,b]

Answer 1

我的证明方法不太好,不过凑合能证出来.

由中值定理,F(x)=(f(x)-f(a))/(x-a)=f‘（c） c∈【a,x】

对任意x1>x,有(f（x1）-f(x))/(x1-x)=f'(c1) c1∈【x,x1】

由于f’‘（x）>0,所以f'(c1)>f(c)

即,(f（x1）-f(x))/(x1-x)>(f(x)-f(a))/(x-a).1

证明一个小不等式,这个很容易证,当a/c>b/d,有(a+b)/(c+d)>b/d

把1式代入不等式,有

(f(x1)-f(a))/(x1-a)>(f(x)-f(a))/(x-a)

对任意x成立,所以命题得证