Question

设函数f(x）在区间[a,b]上连续,在(a,b)内可导且f'(x)≤0,F(X)=1\(x-a)·∫＜a,x＞f(t)

Answer 1

F'(x) = f(x)/(x-a)-∫ f(t)dt/(x-a)² = ((x-a)f(x)-∫ f(t)dt)/(x-a)².

在(a,b)上f'(x) ≤ 0,故f(x)单调减,f(x) ≤ f(t)对t∈(a,x)成立,于是∫ f(t)dt ≥ (x-a)f(x).

(x-a)f(x)-∫ f(t)dt ≤ 0,又(x-a)² > 0,故F'(x) = ((x-a)f(x)-∫ f(t)dt)/(x-a)² ≤ 0.