Question

设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导且f′(x)≤0,并有 证明：在（a,b)内有F'（x)≤0

Answer 1

F(x)=∫ [a-->x] f(t)dt/(x-a)

F'(x)=( f(x)(x-a)-∫ [a-->x] f(t)dt )/(x-a)^2

由积分中值定理,存在ξ∈(a,x),使∫ [a-->x] f(t)dt=f(ξ)(x-a)

则F'(x)=( f(x)(x-a)-f(ξ)(x-a) )/(x-a)^2

=(f(x)-f(ξ))/(x-a)

由x在(a,b)内,x>a,由ξ∈(a,x),则ξ