Question

已知数列{a n }的前n项和为S n ，且满足 a 1 = 1 2 ，a n +2S n S n-1 =0（n≥2）．

Answer 1

（Ⅰ）数列 {

1

S n } 是以2为首项，2为公差的等差数列．证明如下：

∵n≥2时，a _n+2S _nS _n-1=0，∴S _n-S _n-1+2S _nS _n-1=0

∴

1

S n -

1

S n-1 =2

∵ a 1 =

1

2 ，∴

1

S 1 =2

∴数列 {

1

S n } 是以2为首项，2为公差的等差数列；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

1

S n =2+2（n-1）=2n，∴S _n=

1

2n ；

∵n≥2时，a _n+2S _nS _n-1=0，

∴a _n=-2×

1

2n ×

1

2(n-1) =

1

2n(1-n)

∴a _n=

1

2 ，n=1

1

2n(1-n) ，n≥2 ．