Question

已知f（1）=2.对于正整数n,f（n+1）=f（n）^2-f（n）+1.求证：

Answer 1

证

因已知 f(n+1)=[f(n)] ²- f(n)+1,所以f(n+1) - f(n =[f(n)] ²- 2 f(n)+1= ( f(n)-1) ²≥0,这说明f(n)随n递增而递增或相等,但已知f(1)=2,即f(n)最小值为2,所以应为 f(n+1) - f(n =[f(n)] ²- 2 f(n)+1= ( f(n)-1) ²>0,即f(n)随n递增而递增.

以下用 数学归纳法来证明:

⑴当n=1时,因已知f(1)=2,所以

1/(f（1）) +1/(f（2）)+ … +1/(f（n ）)=1/(f（1）)=1/2