陈磊
在函数部分的综合题中我们常常遇见一类抽象函数问题.这类问题由于条件中没有给出具体的函数解析式,而只给出该函数所具备的某些性质,所以大家求解此类问题时往往感到很棘手.事实上,这类问题一般都是以基本初等函数作为模型,只要我们认真分析,善于联想,挖掘出作为模型的函数,变抽象为具体,变陌生为熟知,必能为我们的解题提供思路和方法.下面略举数例加以说明.
一、以正比例函数为模型
例1.已知是定义在R上的函数,对任意的都有,且当时,.问当时,函数是否存在最大值?若存在,请求出最大值；若不存在,请说明理由.
分析：我们知道,正比例函数满足.根据题设,我们可推知本题是以函数作为模型设计的问题.于是,我们可以判定函数的奇偶性、单调性入手来求解.
令,则,解得
又因为
所以
即函数为奇函数.
设,则
依题意,有
所以,
即函数在R上是减函数.
因此,函数当时有最大值,且
二.以一次函数为模型
例2.定义在R上的函数满足,且时,.
（1）设,求数列的前n项和；
（2）判断的单调性,并证明.
分析：对于一次函数有成立.分析本题条件可知该题是以函数为模型命制的.
令,则
所以,
故数列是首项为,公差为的等差数列.
因此,
（2）设,且,则
所以
于是
又
所以,而函数在R上是减函数.
三.以指数函数为模型
例3.设函数定义在R上,对于任意实数m、n,恒有,且当时,.
（1）求证：,且当时,；
（2）求证：在R上单调递减；
（3）设集合,
,若,求a的取值范围.
分析：我们知道,指数函数满足：
①；
②.
分析本题条件和结论,可推知本题是以函数为模型命制的.
（1）令,得
又当时,所以
设,则
令,则
所以
又,所以
（2）设,且,则
所以
从而
又由已知条件及（1）的结论知恒成立
所以
所以
所以,故在R上是单调递减的.
（3）由得：
因为在R上单调递减
所以,即A表示圆的内部
由得：
所以B表示直线
所以,所以直线与圆相切或相离,即
解得：
四.以对数函数为模型
设函数定义域为,且对任意的实数x、y,有,已知,且当时.
（1）求证：；
（2）试判断在上的单调性,并证明.
分析：我们知道,对数函数满足：
①；
②.
分析本题条件,可判定该题是以函数为模型命题的.
证明：（1）令,则
解得：
令,则
解得：
（2）设,则,于是
因为
所以
所以,即函数在上是增函数.
五.以三角函数为模型
例5.定义在R上的函数对任意实数a、b都有成立,且.
（1）求的值；
（2）试判断的奇偶性；
（3）若存在常数使,试问是否为周期函数?若是,指出它的一个周期；若不是,请说明理由.
分析：由三角函数的和差公式可知,观察题设条件,我们可判断本题是以余弦函数为模型设计的问题.
（1）令
则
所以
又因为,所以
（2）令,则
由可得
所以是R上的偶函数.
（3）令,则
因为
所以
所以
所以
所以是以2c为周期的周期函数.
例6.已知函数的定义域关于原点对称,且满足：
（1）
（2）存在正常数a,使
求证：（1）是奇函数；
（2）是周期函数,并且有一个周期为.
分析：根据三角函数公式可判断本题应是以余弦函数为模型命制的.
证明：（1）设,则
所以函数是奇函数.
（2）令,则
即
解得：
所以
所以
因此,函数是周期函数,并且有一个周期为4a.
/jspd/jtjw/200311/77.html