令F(x)=e^(-x)f(x)
显然满足罗尔定理的前2个条件
又
f(0)=∫(0→1)e^(-x)f(x)dx
由积分中值定理,得
存在a∈（0,1）使得
∫(0→1)e^(-x)f(x)dx=e^(-a)f(a)
即
f(0)=e^(-a)f(a)
从而
F(0)=f(0)
F(a)=e^(-a)f(a)
即
F(0)=F(a)
所以
由罗尔定理,得
存在ξ∈(0,1),
F'(ξ)=0
即f‘(ξ)=f(ξ)
f(x)在[0,1]连续,(0,1)内可导,满足f(0)=∫(0→1)e^(-x)f(x)dx,证：存在ξ∈(0,1),
1个回答
相关问题
-
f(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导,f(0)=f(1)=0,证(0,1)存在ξ,f'(ξ)+2f(ξ)=0
-
设f(x)在[0,x]上连续,在(0,x)内可导,且f(0)=0,证明：存在ξ∈(0,x),使得f(x)=(1+ξ)f’
-
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1,证明存在ξ∈(0,1),使得f(ξ)=1
-
f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=f(1)=0,试证：存在ξ∈（0,1）,使f``(ξ)=2f`(ξ)/1-ξ
-
设f(x)在[0,1]上连续且可导,又f(0)=0,0≤f'(x)≤1 试证：[ ∫^(0,1)f(x)dx]^2≥∫^
-
设f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足f(1)=3∫ e^(1-x^2) f(x) dx
-
设函数f（x）在[0，1]上可导，且满足f（1）=0，求证：在（0，1）内至少存在一点ξ，使f′（ξ）=-f(ξ)ξ．（
-
设f(x)在[0,1]上连续,证明在(0,1)内至少存在一点ξ,使∫f(x)dx=(1-ξ)f(ξ)
-
f(x)[0,1]上可导,f(1)=0 Eξ∈(0,1)使 f(ξ
-
设函数f(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导,且f(1)=f(0)=0,对于点x0∈(0,1),证明存在点ξ∈(0,