Question

已知y1=xex+e2x，y2=xex+e-x，y3=xex+e2x-e-x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，则此微分

Answer 1

解题思路：首先，由非齐次的解之差为齐次的解，得到齐次的两个线性无关的解；然后，得到特征方程；再根据特解求出非齐次的f（x）；最后，得到非齐次微分方程．

由题意，有y1−y3＝e−x是齐次微分方程的解，

因而y2−e−x＝xex为非齐次的解，

因此y1−xex＝e2x为齐次的解

这样就得到齐次微分方程的两个线性无关的解e^-x、e^2x

且xe^x为非齐次的一个特解

∴特征方程为：（r+1）（r-2）=r²-r-2=0

∴所求方程对应的齐次微分方程为：

y″-y′-2y=0

再由xe^x为非齐次的一个特解，代入到

y″-y′-2y=f（x）

得f（x）=（1-2x）e^x

∴所求方程为y″-y′-2y=（1-2x）e^x

点评：

本题考点： 微分方程的显式解、隐式解、通解和特解．

考点点评： 此题考查根据线性常系数微分方程的解来反推微分方程，这里采用了特征方程和特征根的方法，也可以采用先设方程，然后将解代入方程，求出未知数的方法．