Question

设函数f（x）=lnx-p（x-1），p∈R．

Answer 1

（1）当p=1时，f（x）=ln x-（x-1），f′（x）=

1

x -1，

令f′（x）＞0，∴x∈（0，1），

故函数f（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）；

令f′（x）＜0，得x∈（1，+∞），故函数f（x）的单调减区间为（1，+∞）；

（2）由题意函数g（x）=xf（x）+p（2x ²-x-1）=xlnx+p（x ²-1），

则xlnx+p（x ²-1）≤0，

设g（x）=xlnx+p（x ²-1），由于g（1）=0，

故只须g（x）=xlnx+p（x ²-1）在x≥1时是减函数即可，

又因为g′（x）=lnx+2px+1，故lnx+2px+1≤0在x≥1时恒成立，

即p ≤-

lnx+1

2x 在x≥1时恒成立，

由于 (-

lnx+1

2x )′=

lnx

2x =0 时，x=1，得 当x=1时， -

lnx+1

2x 取最小值-

1

2 ，

∴p≤-

1

2 ．