Question

使不等式sin2x+acosx+a2≥1+cosx对一切x∈R恒成立的负数a的取值范围是______．

Answer 1

解题思路：利用公式1=cos²x+sin²x，进行代换，可得cos²x+（1-a）cosx-a²≤0，然后利用换元法和二次函数的性质列出性质进行求解．

1-cos²x+acosx+a²≥1+cosx⇒cos²x+（1-a）cosx-a²≤0，

令t=cosx，

∵x∈R，

∴t∈[-1，1]，

t²+（1-a）t-a²≤0，

∴

1+1−a−a2≤0

1−1+a−a2≤0

a＜0⇒

a2+a−2≥0

a2−a≥0

a＜0⇒

a≤−2或a≥1

a≤0或a≥1

a＜0⇒a≤−2．

故答案为a≤-2．

点评：

本题考点： 其他不等式的解法．

考点点评： 此题考查函数的恒成立问题，是一道中档题，利用不等式的性质进行求解．