十字相乘法概念
十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项系数. 十字相乘法能把某些二次三项式分解因式.这种方法的关键是把二次项系数a分解成两 十字相乘法
个因数a1,a2的积a1.a2,把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1乘c2,并使a1c2+a2c1正好是一次项b,那么可以直接写成结果:ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2),在运用这种方法分解因式时,要注意观察,尝试,并体会它实质是二项式乘法的逆过程.当首项系数不是1时,往往需要多次试验,务必注意各项系数的符号. 基本式子：x^2+（p+q)χ+pq=(χ+p)(χ+q)所谓十字相乘法,就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解.比如说:把x^2+7x+12进行因式分解. . 上式的常数12可以分解为3×4,而3+4又恰好等于一次项的系数7,所以上式可以分解为:x^2+7x+12=(x+3)(x+4) . 又如:分解因式:a^2+2a-15,上式的常数-15可以分解为5×(-3).而5+(-3)又恰好等于一次项系数2,所以a^2+2a-15=(a+5)(a-3). 讲 x^2-3x+2=如下： x -1 ╳ x -2 左边x乘x=x^2 右边-1乘-2=2 中间-1乘x+（-2）乘x（对角）=-3x 上边的【x+（-1）】乘下边的【x+（-2）】 就等于（x-1）*（x-2） x^2-3x+2=（x-1）*（x-2）例题
例1
把2x^2-7x+3分解因式. 分析：先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角,再分解常数项,分 别写在十字交叉线的右上角和右下角,然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数. 分解二次项系数(只取正因数)： 2＝1×2＝2×1； 分解常数项： 3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3). 用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 1 1 ╳ 2 3 1×3+2×1 =5 1 3 ╳ 2 1 1×1+2×3 =7 1 -1 ╳ 2 -3 1×(-3)+2×(-1) =-5 1 -3 ╳ 2 -1 1×(-1)+2×(-3) =-7 经过观察,第四种情况是正确的,这是因为交叉相乘后,两项代数和恰等于一次项系数－7. 解 2x^2-7x+3=(x-3)(2x-1). 一般地,对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0),如果二次项系数a可以分解成两个因数之积,即a=a1a2,常数项c可以分解成两个因数之积,即c=c1c2,把a1,a2,c1,c2,排列如下： a1 c1 ╳ a2 c2 a1c2+a2c1 按斜线交叉相乘,再相加,得到a1c2+a2c1,若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b,即a1c2+a2c1=b,那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积,即 a^2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2). 像这种借助画十字交叉线分解系数,从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法,通常叫做十字相乘法.
例2
把6x^2-7x-5分解因式. 分析：按照例1的方法,分解二次项系数6及常数项-5,把它们分别排列,可有8种不同的排列方法,其中的一种 2 1 ╳ 3 -5 2×(-5)+3×1=-7 是正确的,因此原多项式可以用十字相乘法分解因式. 解 6x^2-7x-5=(2x+1)(3x-5) 指出：通过例1和例2可以看到,运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解,往往要经过多次观察,才能确定是否可以用十字相乘法分解因式. 对于二次项系数是1的二次三项式,也可以用十字相乘法分解因式,这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x^2+2x-15分解因式,十字相乘法是 1 -3 ╳ 1 5 1×5+1×(-3)=2 所以x^2+2x-15=(x-3)(x+5).
例3
把5x^2+6xy-8y^2分解因式. 分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式,把-8y^2看作常数项,在分解二次项及常数项系数时,只需分解5与-8,用十字交叉线分解后,经过观察,选取合适的一组,即 1 2 ╳ 5 -4 1×(-4)+5×2=6 解 5x^2+6xy-8y^2=(x+2y)(5x-4y). 指出：原式分解为两个关于x,y的一次式.
例4
把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式. 分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式,只有先进行多项式的乘法运算,把变形后的多项式再因式分解. 问：以上乘积的因式是什么特点,用什么方法进行多项式的乘法运算最简便? 答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2,就变为2(x-y),它是第一个因式的二倍,然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算,可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式,就可以用十字相乘法分解因式了. 解 (x-y)(2x-2y-3)-2 =(x-y)[2(x-y)-3]-2 =2(x-y) ^2-3(x-y)-2 1 -2 ╳ 2 1 1×1+2×(-2)=－3 =[(x-y)-2][2(x-y)+1] =(x-y-2)(2x-2y+1). 指出：把(x-y)看作一个整体进行因式分解,这又是运用了数学中的“整体”思想方法.
例5
x^2+2x-15 分析：常数项(-15)7 不成立 继续试 第二次 1 2 ╳ 2 3 1X3+2X2=7 所以 分解后为:(x+2)(2x+3).十字相乘法能把某
编辑本段十字相乘法（解决两者之间的比例问题）
原理
一个集合中的个体,只有2个不同的取值,部分个体取值为A,剩余部分取值为B.平均值为C.求取值为A的个体与取值为B的个体的比例.假设总量为S, A所占的数量为M,B为S-M. 则：［A＊M＋B＊（S－M）］／S=C A/S*M/S+B/S*(S-M)/S=C M/S=(C-B)/(A-B) 1-M/S=(A-C)/(A-B) 因此：M/S∶（1-M/S）=（C-B）∶(A-C) 上面的计算过程可以抽象为： A ………C-B ……C B……… A-C 这就是所谓的十字相乘法.X增加,平均数C向A偏,A-C（每个A给B的值）变小,C-B（每个B获得的值）变大,两者如上相除=每个B得到几个A给的值.即比例,以十字相乘法形式展现更加清晰
十字相乘法使用时的注意
第一点：用来解决两者之间的比例问题. 第二点：得出的比例关系是基数的比例关系. 第三点：总均值放中央,对角线上,大数减小数,结果放在对角线上.
例题
某高校2006年度毕业学生7650名,比上年度增长2%,其中本科毕业生比上年度减少2%,而研究生毕业数量比上年度增加10%,那么,这所高校今年（2006）毕业的本科生有多少人? 十字相乘法 去年毕业生一共7500人,7650÷（1+2%）=7500人. 本科生：-2%………8% …………………2% 研究生：10%……… -4% 本科生∶研究生=8%∶(-4%)=-2∶1. 去年的本科生：7500×2/3=5000 今年的本科生：5000×0.98=4900 答：这所高校今年毕业的本科生有4900人. 鸡兔同笼问题 今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何? 十字相乘法 假设全为鸡脚则有70只脚,假设全为兔脚则有120只脚 鸡： 70……… …46 ……………………94 兔：140……… …24 鸡：兔=46：24=23：12 答：鸡有23只,兔有12只.
编辑本段3.十字相乘法解一元二次方程
例1 把2x^2-7x+3分解因式. 分析：先 分解二次项系数, 分别写在十字交叉线的左上角和左下角, 再分解常数项, 分别写在十字交叉线的右上角和右下角, 然后交叉相乘, 求代数和,使其等于一次项系数. 分解二次项系数(只取正因数)： 2＝1×2＝2×1； 分解常数项： 3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3). 用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 11╳23 1×3+2×1=5 13╳21 1×1+2×3=7 1-1╳2 -3 1×(-3)+2×(-1) =-5 1 -3 ╳ 2 -1 1×(-1)+2×(-3) =-7 经过观察,第四种情况是正确的,这是因为交叉相乘后,两项代数和恰等于一次项系数－7. 解 2x^2-7x+3=(x-3)(2x-1). 一般地,对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0), 如果二次项系数a可以分解成两个因数之积, 即a=a1a2, 常数项c可以分解成两个因数之积, 即c=c1c2,把a1,a2,c1,c2, 排列如下： a1c1 ╳ a2c2 a1c2+a2c1 按斜线交叉相乘,再相加,得到a1c2+a2c1, 若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b, 即a1c2+a2c1=b, 那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积, 即 ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2). 例2 把6x^2-7x-5分解因式. 分析：按照例1的方法, 分解二次项系数6及常数项-5, 把它们分别排列, 可有8种不同的排列方法, 其中的一种 21╳3-5 2×(-5)+3×1=-7 是正确的,因此原多项式可以用十字相乘法分解因式. 解 6x^2-7x-5=(2x+1)(3x-5) 指出：通过例1和例2可以看到, 运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解, 往往要经过多次观察, 才能确定是否可以用十字相乘法分解因式. 对于二次项系数是1的二次三项式, 也可以用十字相乘法分解因式, 这时只需考虑如何把常数项分解因数. 例如把x^2+2x-15分解因式, 十字相乘法是1-3╳ 15 1×5+1×(-3)=2 所以x^2+2x-15=(x-3)(x+5). 例3 把5x^2+6xy-8y^2分解因式. 分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式, 把-8y^2看作常数项, 在分解二次项及常数项系数时, 只需分解5与-8,用十字交叉线分解后, 经过观察,选取合适的一组, 即 12╳ 5-4 1×(-4)+5×2=6 解 5x^2+6xy-8y^2=(x+2y)(5x-4y). 指出：原式分解为两个关于x,y的一次式. 例4 把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式. 分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式, 只有先进行多项式的乘法运算, 把变形后的多项式再因式分解. 问：两上乘积的因式是什么特点,用什么方法进行多项式的乘法运算最简便? 答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2,就变为2(x-y),它是第一个因式的二倍,然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算,可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式,就可以用十字相乘法分解因式了. 解 (x-y)(2x-2y-3)-2 =(x-y)[2(x-y)-3]-2 =2(x-y) ^2-3(x-y)-2 1-2╳ 21 1×1+2×(-2)=－3 =[(x-y)-2][2(x-y)+1] =(x-y-2)(2x-2y+1). 指出：把(x-y)看作一个整体进行因式分解, 这又是运用了数学中的“整体”思想方法.例5 x^2+2x-15 分析：常数项(-15)