解题思路：（1）设函数y=f（x）的一个不动点为x0，然后根据不动点的定义建立方程，解之即可；
（2）由（1）可知
a＝3，b＝
1
2
，代入
f(x)−a
f(x)−b
＝k•
x−a
x−b
可求出常数k的值；
（3）由（2）可知数列
{
a
n
−3
a
n
+
1
2
}是以
a
1
−3
a
1
+
1
2
为首项，8为公比的等比数列，然后求出通项，即可求出数列{an}的 通项公式．
（1）设函数y=f（x）的一个不动点为x0，
则
−2x0+3
2x0−7＝x0，解得x0＝−
1
2，x0＝3
（2）由（1）可知a＝3，b＝−
1
2，
−2x+3
2x−7−3
−2x+3
2x−7+
1
2＝
−8x+24
−x−
1
2＝8•
x−3
x+
1
2
可知使
f(x)−a
f(x)−b＝k•
x−a
x−b恒成立的常数k=8．
（3）由（2）知
an−3
an+
1
2＝8
an−1−3
an−1+
1
2
可知数列{
an−3
an+
1
2}是以
a1−3
a1+
1
2为首项，8为公比的等比数列
即以−
4
3为首项，8为公比的等比数列．则
an−3
an+
1
2＝−
4
3•8n−1
∴an＝
3−
1
2•
4
3•8n−1
1+
4
3•8n−1＝
点评：
本题考点： 函数恒成立问题；等比关系的确定．
考点点评： 本题主要考查了函数恒成立问题，以及等比数列求通项，同时考查了前后问题之间的联系，属于中档题．