Question

对于函数f（x），若存在x0∈R，使方程f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点，已知函数f（x）=ax2+（b

Answer 1

解题思路：（1）首先利用信息要求解出结果．

（2）二次函数的轴固定区间不固定的讨论．

（3）恒成立问题的应用．

（1）由题意得：f（x）=x²-x-3 由于x₀是不动点

因此得：f(x0)＝x02−x0−3＝x0

即：x02−2x0−3＝0

解得：x₀=-1或3

即3和-1是f（x）的不动点．

（2）①当t≤−

1

2时，g（t）=t²+t-3

②当-[1/2]＜t＜[1/2]时，g（t）=-[13/4]

③当t≥[1/2]时，g（t）=t²-t-3

（3）因为f（x）恒有两个不动点

f（x）=ax²+（b+1）x+b-1=x

即：ax²+bx+b-1=0恒有两个不等实根

即对于任意的实数都有△=b²-4a（b-1）＞0恒成立

进一步得：对任意的实数b，b²-4ab+4a＞0恒成立．

△1＝(4a)2−4(4a)＜0

得到：a²-a＜0

0＜a＜1

故答案为：（1）3和-1是f（x）的不动点

（2））①当t≤−

1

2时，g（t）=t²+t-3

②当-[1/2]＜t＜[1/2]时，g（t）=-[13/4]

③当t≥[1/2]时，g（t）=t²-t-3

（3）0＜a＜1

点评：

本题考点： 二次函数的性质．

考点点评： 本题考查的知识点：信息抽象函数的应用，二次函数的轴固定区间不固定的讨论，恒成立问题的应用及一元二次不等式和一元二次方程的解法．