Question

线性规划变量x,y,z满足不等式组x+2y-1≥0;2x+y-2≤0;x-y+2≥0,则z=2^x+2^y的最小值

Answer 1

z=2^x+2^y

=2^x+0.5*2^y+0.5*2^y (3个数的均值不等式，算术平均不小于几何平均)

>=3*(2^x*0.5*2^y*0.5*2^y)^(1/3)

=3*(0.25*2^(x+2*y))^(1/3) (因为x+2y-1>=0)

>=3*(0.25*2^(1))^(1/3)

=3*(0.5)^(1/3)

=2.3811.

等号取到时，x+2y-1=0，2^x=0.5*2^y（等价于y=x+1），

可得x=-1/3，y=2/3。

matlab画图，3个不等式组代表黑色三角形的三边（满足不等式的点都位于三角形里面），红虚线是2^x+2^y=2.3811等高线，可以看出正好相切，没有问题。