Question

AB为抛物线y 2 =2px（p＞0）的焦点弦，若|AB|=1，则AB中点的横坐标为______；若AB的倾斜角为α，则

Answer 1

抛物线y ²=2px，∴焦点为（

p

2 ，0），准线方程为x=-

p

2

设A（x ₁，y ₁），B（x ₂，y ₂）

①根据抛物线性质可知，x ₁+

p

2 +x ₂+

p

2 =|AB|=1

∴x ₁+x ₂=1-p

∴AB中点的横坐标

x 1 + x 2

2 =

1-p

2

②k=tanα

所以直线AB是y-0=tanα（x-

p

2 ）

代入抛物线方程得

tan ²αx ²-tan ²αpx+tan ²α

p 2

4 =2px

tan ²αx ²-（tan ²αp+2p）x+tan ²α

p 2

4 =0

所以x ₁+x ₂=

tan 2 αp+2p

tan 2 α

抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离

所以A横坐标是x ₁，所以A到准线距离=x ₁+

p

2

B到准线距离=x ₂+

p

2

所以AB=AF+BF=

2p

sin 2 α