Question

已知函数f（x）=ax=inx,若f（x）大于1在区间1到正无穷大内恒成立,求实数a的取值范围

Answer 1

答：a>=1

请看分析：f(x)=ax-lnx,若f(x)=ax-lnx>1,在(1,+oo)上恒成立,

分离常数a即a>(1+lnx)/x在(1,+oo)上恒成立,

该问题等价于a>maxh(x),其中h(x)=(1+lnx)/x,x>1.

补充定义h(1)=1,则易知h(x)在x=1处连续.求导易得h'(x)=-lnx/x^21),得h(x)在(1,+oo)递减,

于是maxh(x)=(x-->1)limh(x)=h(1)=1,

由于x>1,故h(x)maxh(x),得a的取值范围：a>=1.此时命题就恒成立了