解题思路：（1）关于x的方程-x2+4x=
f(9)−f(0)
9−0
在（0，9）内有实数根时，函数f（x）=-x2+4x在区间[0，9]上是平均值函数，下面只需解方程-x2+4x=
f(9)−f(0)
9−0
的根即可得出结论；
（2）函数f（x）=-x2+mx+1是区间[-1，1]上的平均值函数，故有-x2+mx+1=
f(1)−f(−1)
1−(−1)
在（-1，1）内有实数根，求出方程的根，让其在（-1，1）内，即可求出实数m的取值范围．
（1）由定义可知，关于x的方程-x2+4x=
f(9)−f(0)
9−0在（0，9）内有实数根时，
函数f（x）=-x2+4x在区间[0，9]上是平均值函数．
解-x2+4x=
f(9)−f(0)
9−0⇒x2-4x-5=0，可得x=5，x=-1．
又-1∉（0，9），
∴x=5，
所以函数f（x）=-x2+4x在区间[0，9]上是平均值函数，5是它的均值点．
（2）∵函数f（x）=-x2+mx+1是区间[-1，1]上的平均值函数，
∴关于x的方程-x2+mx+1=
f(1)−f(−1)
1−(−1)在（-1，1）内有实数根．
由-x2+mx+1=
f(1)−f(−1)
1−(−1)⇒x2-mx+m-1=0，解得x=m-1，x=1．
又1∉（-1，1）
∴x=m-1必为均值点，即-1＜m-1＜1⇒0＜m＜2．
∴所求实数m的取值范围是0＜m＜2．
点评：
本题考点： 二次函数的性质．
考点点评： 本题主要是在新定义下考查二次方程根的问题．在做关于新定义的题目时，一定要先认真的研究定义理解定义，再按定义做题．