解题思路：
(1)根据离心率为
，可知双曲线为等轴双曲线，可设双曲线的方程为
，再根据它过点
(4,
−
)
代入双曲线方程求出参数值，方程确定。
(2)根据点
M
(3,
m
)
在双曲线上，可求出
m
值，然后求出
，从而得到
。
(3)因为
N
(3,
1
)
为弦
AB
的中点，可利用点差法求得直线的斜率，进而写出点斜式方程。
(1)
∵
离心率为
，
∴
双曲线为等轴双曲线
.
∵
双曲线的中心在原点，焦点
在坐标轴上
∴
设双曲线的方程为，
，
∵
点
(4,
−
)
在双曲线上
∴
，
∴
双曲线的方程为，
.
(
2)
∵
M
(3,
m
)
在双曲线上，
∴
，
∵
，
，
∴
∴
∴
.
(
3)
∵
点
N
(3,
1
)
恰好是弦
AB
的中点
∴
有点差法易得
，
∴
直线
AB
的方程为
∴
（1）
.（2）
。
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