Question

求某概率分布的数学期望总体为ξ的概率分布 P(ξ=k)=(k-1)θ^2(1-θ)^(k-2) (k=2,3.) θ为常

Answer 1

由定义得：

E(ξ)=∑KP(ξ=k)=∑K(k-1)(1-θ)^(k-2)θ^2

利用等式：K(k-1)(1-θ)^(k-2)=[(1-θ)^(k)]''

因此有：E(ξ)=θ^2∑[(1-θ)^(k)]''（交换求和与求导秩序得）=θ^2{∑[(1-θ)^(k)]}''

其中和式∑[(1-θ)^(k)]=[(1-θ)^2/θ],其二阶导数为2/θ^3

最后算得：E(ξ)=2/θ