(2012•上高县模拟)已知f(x)是R上的偶函数,若将f(x)的图象向左平移一个单位后,则得到一个奇函数的图象,若f(

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  • 解题思路:根据函数奇偶性的定义进行变量代换,可得出f(x)是最小正周期为4的周期函数,从而将原式化简为:503[f(0)+f(1)+f(2)+f(3)]+f(2012)+f(2013).结合题意算出f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0且f(0)+f(1)=-3.由此即可得到本题答案.

    ∵将f(x)的图象向左平移一个单位后,则得到一个奇函数的图象,

    ∴函数f(x)满足:f(-x+1)=-f(x+1)

    又∵f(x)是R上的偶函数,可得f(-x+1)=f(x-1)

    ∴f(x-1)=-f(x+1),用x+2代替x得:f(x+1)=-f(x+3)

    由此可得f(x+3)=f(x-1),再用x+1代替x得:f(x+4)=f(x)

    ∴函数f(x)是周期为4的周期函数

    ∵f(-x+1)=-f(x+1),

    ∴取x=0,可得f(1)=-f(1),得f(1)=0

    取x=1,得f(0)=-f(2)=-3,可得f(0)+f(2)=0;

    取x=2,得f(-1)=-f(3),即f(-1)+f(3)=f(1)+f(3)=0

    因此,f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0

    ∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2013)

    =503[f(0)+f(1)+f(2)+f(3)]+f(2012)+f(2013)

    =f(2012)+f(2013)=f(0)+f(1)=-3

    故答案为:-3

    点评:

    本题考点: 函数奇偶性的性质;函数的值.

    考点点评: 本题给出抽象函数,求f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2013)的值.着重考查了函数的奇偶性、周期性和函数值的求法等知识,属于中档题.