欧拉公式的证明及各方面的应用

1个回答

  • e^ix=cosx+isinx,e是自然对数的底,i是虚数单位.它将三角函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位.  e^ix=cosx+isinx的证明:  因为e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+……   cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!……   sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!……   在e^x的展开式中把x换成±ix.  (±i)^2=-1,(±i)^3=∓i,(±i)^4=1 ……   e^±ix=1±ix/1!-x^2/2!∓ix^3/3!+x^4/4!……   =(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……)   所以e^±ix=cosx±isinx   将公式里的x换成-x,得到:  e^-ix=cosx-isinx,然后采用两式相加减的方法得到:

    sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i),cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式.将e^ix=cosx+isinx中的x取作π就得到:  e^iπ+1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式,它是数学里最令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个数字联系到了一起:两个超越数:自然对数的底e,圆周率

    π,两个单位:虚数单位i和自然数的单位1,以及被称为人类伟大发现之一的0.数学家们评价它是“上帝创造的公式”,我们只能看它而不能理解它.

    这种资料很好找吧……