Question

已知函数f（x）=log2（x+1），当点（x，y）在f（x）的图象上时，（[x/3]，[y/2]）在y=g（x）图象上

Answer 1

解题思路：令[x/3]=a，[y/2]=b，由题设条件知，再由（a，b）是函数y=g（x）的图象上的点，即可得到函数y=g（x）的解析式．再根据基本不等式即可求出g（x）-f（x）的最大值．

令（a，b）点是函数y=g（x）的图象上的点，

则a=[x/3]，b=[1/2y，则x=3a，y=2b，

∵点（x，y）在函数y=f（x）的图象上

∴（x，y）满足函数f（x）=log₂（x+1），

即2b=log₂（3a+1），

即b=log₂

3a+1]，

故函数y=g（x）=log₂

3x+1，x＞−

1

3，

∴F（x）=g（x）-f（x）=log₂

3x+1-log₂（x+1）=log₂

3x+1

x+1=[1/2]log2

3x+1

(x+1)2=[1/2]log₂[9

2(3x+1)+

4/3x+1+4]≤[1/2]log₂[9/8]=log₂3-[3/2]，当且仅当3x+1=2时，即 x=[1/3]时等号成立，

∴F（x）=g（x）-f（x）的最大值为log₂3-[3/2]．

点评：

本题考点： 指数函数的图像与性质．

考点点评： 本题考查的知识点是对数函数的图象与性质的综合应用，的关键是根据基本不等式，求出真数部分的最大值，进而根据对数函数的单调性，得到y=g（x）-f（x）的最大值．