Question

（2000•内蒙古）如图，已知在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，且a、b是关于x的一元二次方程x2+

Answer 1

解题思路：（1）将一元二次方程整理为一般形式，由两根关系定理得a+b=c+4，ab=4（c+2），根据a²+b²=（a+b）²-2ab，将两根关系的式子代入得出a²+b²=c²，根据勾股定理的逆定理判断；

（2）连接OE，在Rt△ABC中，由tanA=[BC/AC]=[3/4]，设BC=a=3x，则AC=b=4x，由勾股定理得AB=c=5x，代入a+b=c+4中求x，由OE⊥AC，BC⊥AC，可证△AOE∽△ABC，设BO=OE=r，由相似得[OE/BC]=[OA/AB]=[AE/AC]，先求r，再求AE．

（1）证明：由已知，得x²-（c+4）x+4（c+2）=0，

由两根关系定理得a+b=c+4，ab=4（c+2），

∴a²+b²=（a+b）²-2ab=（c+4）²-8（c+2）=c²，

∴△ABC是直角三角形；

（2）连接OE，设BO=OE=r，

∵⊙O切AC于点E，

∴OE⊥AC，

在Rt△ABC中，由tanA=[BC/AC]=[3/4]，设BC=a=3x，则AC=b=4x，

则AB=c=5x，代入a+b=c+4中，得

3x+4x=5x+4，

解得x=2，

∴a=3x=6，b=4x=8，c=5x=10，

∵OE⊥AC，BC⊥AC，

∴OE∥BC，

∴△AOE∽△ABC，

∴[OE/BC]=[OA/AB]=[AE/AC]，

即[r/6]=[10−r/10]=[AE/8]，

解得r=[15/4]，AE=5．

点评：

本题考点： 切割线定理；根与系数的关系；勾股定理；勾股定理的逆定理；切线的性质．

考点点评： 本题属于压轴题，综合考查了一元二次方程的两根关系，勾股定理逆定理的运用，切线的性质，相似三角形及解直角三角形的知识，关键是根据题意，找到解题的突破口．