解题思路：设切线方程，利用过点P（3，4）的直线与圆（x-2）2+（y-2）2=4相切，求出k，利用切线与直线ax-y+1=0垂直，即可求出实数a的值．
由题意，P在圆外，设切线方程为y-4=k（x-3），
即kx-y-3k+4=0．
∵过点P（3，4）的直线与圆（x-2）2+（y-2）2=4相切，
∴
|−k+2|
k2+1=2，
∴k=0或k=-[4/3]，
∵切线与直线ax-y+1=0垂直，
∴a=[3/4]．
故答案为：[3/4]．
点评：
本题考点： 圆的切线方程．
考点点评： 本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线的垂直，考查转化数学与计算能力．