Question

已知二次函数y=2x2+bx+1（b为常数），当b取不同的值时，对应得到一系列二次函数的图象，它们的顶点都在一条抛物线上

Answer 1

解题思路：首先利用b抛物线的顶点坐标，然后变形即可得到所求抛物线的解析式；由二次函数y=2x²+bx+1的顶点只在x轴上方移动且a=2＞0，可知抛物线与x轴没有交点，故△＜0，求出b的取值范围即可．

∵y=2x²+bx+1的顶点坐标是（-[b/4]，

8−b2

8），

设x=-[b/4]，y=

8−b2

8，

∴b=-4x，

∴y=

8−b2

8=

8−(−4x)2

8=-2x²+1，

若二次函数y=2x²+bx+1的顶点只在x轴上方移动，

∵a=2＞0，

∴抛物线与x轴没有交点，

∴△＜0，即△=b²-8＜0，解得-2

2＜b＜2

2．

故答案为：y=-2x²+1；-2

2＜b＜2

2．

点评：

本题考点： 二次函数的性质．

考点点评： 本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点坐标及根的判别式是解答此题的关键．