我的理解是,这个证明是严密的,它的重点是要说明存在常数δ,就是找到一个δ就叫做存在.证明的过程就是在说明他找到了那一个δ,怎么说明的呢?因为函数有极限,所以根据ε-δ定义,δ=f(ε),这里的ε是指小正数,关键在于一个小字,如果你取 了2A,那么他也许就不够小了,证明给的是取A的一半,然后根据ε与δ之间的关系,必然存在一个δ可使结论成立,当然这里ε的取值可以有很多,但是没有必要把所有的成立的ε取值都列出来,因为关键只要找到一个δ,就叫做存在δ了.不知道我这么说能不能帮到你,至于A=0时,这个定理就没有意义了,为什么叫保号定理?保号保号,保的就是x0附近很小一个空心领域内所有点的符号,保证这些点的符号都跟A的符号一致,才叫保号嘛,等于0就没有符号而言了.
当然以上是我个人见解,不到之处还请见谅.