十字相乘和双十字相乘讲解和习题.

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  • 十字相乘法概念

    十字相乘法能把某些二次三项式分解因式.这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1•a2,把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1•c2,并使a1c2+a2c1正好是一次项b,那么可以直接写成结果:在运用这种方法分解因式时,要注意观察,尝试,并体会它实质是二项式乘法的逆过程.当首项系数不是1时,往往需要多次试验,务必注意各项系数的符号.

    例题

    例1 把2x^2-7x+3分解因式.

    分析:先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角,再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角,然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数.

    分解二次项系数(只取正因数):

    2=1×2=2×1;

    分解常数项:

    3=1×3=1×3==(-3)×(-1)=(-1)×(-3).

    用画十字交叉线方法表示下列四种情况:

    1 1

    2 3

    1×3+2×1 =5

    1 3

    2 1

    1×1+2×3 =7

    1 -1

    2 -3

    1×(-3)+2×(-1)=-5

    1 -3

    2 -1

    1×(-1)+2×(-3)=-7

    经过观察,第四种情况是正确的,这是因为交叉相乘后,两项代数和恰等于一次项系数-7.

    解 2x^2-7x+3=(x-3)(2x-1).

    一般地,对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0),如果二次项系数a可以分解成两个因数之积,即a=a1a2,常数项c可以分解成两个因数之积,即c=c1c2,把a1,a2,c1,c2,排列如下:

    a1 c1

    ? ╳

    a2 c2

    a1a2+a2c1

    按斜线交叉相乘,再相加,得到a1c2+a2c1,若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b,即a1c2+a2c1=b,那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积,即ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).

    像这种借助画十字交叉线分解系数,从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法,通常叫做十字相乘法.

    例2: 把6x^2-7x-5分解因式.

    分析:按照例1的方法,分解二次项系数6及常数项-5,把它们分别排列,可有8种不同的排列方法,其中的一种

    2 1

    3 -5

    2×(-5)+3×1=-7

    是正确的,因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.

    解 6x^2-7x-5=(2x+1)(3x-5).

    指出:通过例1和例2可以看到,运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解,往往要经过多次观察,才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.

    对于二次项系数是1的二次三项式,也可以用十字相乘法分解因式,这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x^2+2x-15分解因式,十字相乘法是

    1 -3

    1 5

    1×5+1×(-3)=2

    所以x^2+2x-15=(x-3)(x+5).

    例3 把5x^2+6xy-8y^2分解因式.

    分析:这个多项式可以看作是关于x的二次三项式,把-8y^2看作常数项,在分解二次项及常数项系数时,只需分解5与-8,用十字交叉线分解后,经过观察,选取合适的一组,即

    1 2

    ?╳

    5 -4

    1×(-4)+5×2=6

    解 5x^2+6xy-8y^2=(x+2y)(5x-4y).

    指出:原式分解为两个关于x,y的一次式.

    例4 把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式.

    分析:这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式,只有先进行多项式的乘法运算,把变形后的多项式再因式分解.

    问:两上乘积的因式是什么特点,用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?

    答:第二个因式中的前两项如果提出公因式2,就变为2(x-y),它是第一个因式的二倍,然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算,可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式,就可以用十字相乘法分解因式了.

    解 (x-y)(2x-2y-3)-2

    =(x-y)[2(x-y)-3]-2

    =2(x-y) ^2-3(x-y)-2

    =[(x-y)-2][2(x-y)+1]

    =(x-y-2)(2x-2y+1).

    1 -2

    2 1

    1×1+2×(-2)=-3

    指出:把(x-y)看作一个整体进行因式分解,这又是运用了数学中的“整体”思想方法.

    例5 x^2+2x-15

    分析:常数项(-15)7 不成立 继续试

    第二次

    1 2

    2 3

    1X3+2X2=7 所以 分解后为:(x+2)(2x+3)

    可以说十字相乘法是一种很方便有效地方法,掌握了它能对我们学习因式分解更有帮助.

    用十字相乘法分解因式:

    (1)2x2-5x-12;

    (2)3x2-5x-2;

    (3)6x2-13x+5;

    (4)7x2-19x-6;

    (5)12x2-13x+3;

    (6)4x2+24x+27.

    (7)6x2-13xy+6y2;

    (8)8x2y2+6xy-35;

    (9)18x2-21xy+5y2;

    (10)2(a+b) 2+(a+b)(a-b)-6(a-b)

    (11)2x2+3x+1;

    (12)2y2+y-6;

    (13)6x2-13x+6;

    (14)3a2-7a-6;

    (15)6x2-11xy+3y2;

    (16)4m2+8mn+3n2;

    (17)10x2-21xy+2y2;

    (18)8m2-22mn+15n

    (19)4n2+4n-15;

    (20)6a2+a-35;

    (21)5x2-8x-13;

    (22)4x2+15x+9

    (23)15x2+x-2;

    (24)6y2+19y+10;

    (25)20-9y-20y2;

    (26)7(x-1)2+4(x-1)(y+2)-20(y+2)

    双十字相乘法

    分解二次三项式时,我们常用十字相乘法.对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我们也可以用十字相乘法分解因式.

    例如:

    分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3.我们将上式按x降幂排列,并把y当作常数,于是上式可变形为

    2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3),

    可以看作是关于x的二次三项式.

    对于常数项而言,它是关于y的二次三项式,也可以用十字相乘法,分解为

    -22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1).

    再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解

    所以原式=〔x+(2y-3)〕〔2x+(-11y+1)〕

    =(x+2y-3)(2x-11y+1).

    上述因式分解的过程,实施了两次十字相乘法.如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起,它表示的是下面三个关系式:

    (x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2;

    (x-3)(2x+1)=2x2-5x-3;

    (2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3.

    这就是所谓的双十字相乘法.

    用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是:

    (1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2,得到一个十字相乘图(有两列);

    (2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上,要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey,第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx.

    例1 分解因式

    (1)x2-3xy-10y2+x+9y-2;

    (2)x2-y2+5x+3y+4;

    (3)xy+y2+x-y-2;

    (4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2.

    (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1).

    (2)原式=(x+y+1)(x-y+4).

    (3)原式中缺x2项,可把这一项的系数看成0来分解.原式=(y+1)(x+y-2).

    (4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z).

    说明 (4)中有三个字母,解法仍与前面的类似.

    2.求根法

    我们把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式,并用f(x),g(x),…等记号表示,如 f(x)=x2-3x+2,g(x)=x5+x2+6,…,当x=a时,多项式f(x)的值用f(a)表示.

    如对上面的多项式f(x),f(1)=12-3×1+2=0;f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12.若f(a)=0,则称a为多项式f(x)的一个根.

    定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根,即f(a)=0成立,则多项式f(x)有一个因式x-a.

    根据因式定理,找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根.对于任意多项式f(x),要求出它的根是没有一般方法的,然而当多项式f(x)的系数都是整数时,即整系数多项式时,经常用下面的定理来判定它是否有有理根.