已知椭圆
的中心为坐标原点
,一个长轴端点为
,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线
与 y 轴交于点 P （0， m ），与椭圆 C 交于相异两点 A 、B ，且
．
（1）求椭圆方程；
（2）求 m 的取值范围．
（1）
（2）所求 m 的取值范围为（－1，－
）∪（
，1）
【解题思路】通过
，沟通A、B两点的坐标关系，再利用判别式和根与系数关系得到一个关于m的不等式。
（1）由题意可知椭圆
为焦点在
轴上的椭圆，可设
由条件知
且
，又有
，解得
故椭圆
的离心率为
，其标准方程为：
（2）设 l 与椭圆 C 交点为 A （ x 1， y 1）， B （ x 2， y 2）
得（ k 2＋2） x 2＋2 kmx ＋（ m 2－1）＝0
Δ＝（2 km ） 2－4（ k 2＋2）（ m 2－1）＝4（ k 2－2 m 2＋2）>0 （*）
x 1＋ x 2＝， x 1x 2＝
∵＝3∴－ x 1＝3 x 2∴
消去 x 2，得3（ x 1＋ x 2） 2＋4 x 1x 2＝0，∴3（） 2＋4＝0
整理得4 k 2m 2＋2 m 2－ k 2－2＝0
m 2＝时，上式不成立； m 2≠时， k 2＝，
因 λ ＝3 ∴ k ≠0 ∴ k 2＝>0，∴－1< m
或
< m <1
容易验证 k 2>2 m 2－2成立，所以（*）成立
即所求 m 的取值范围为（－1，－
）∪（
，1）
【名师指引】椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一，应充分重视向量的功能