在这里分一下情况吧：
若a,b全为0，显然是直线方程；
若a,b有一个为0，如b=0，则显然是抛物线，只不过若b=0则开口向上或下，a=0时开口向左或右
若a,b均不为0
1、a=b时，两边除以a然后配方成为(x-p)^2+(y-q)^2=M
的形式；若M0，设M=r^2，此方程代表以(p,q)为圆心，r为半径的圆
2、a,b同号但不相等时，配方整理成
(x-s)^2/u^2+(y-t)^2/v^2=1的形式
此时表示以(s,t)为中心的椭圆，其长轴长和短轴长分别为2u,2v（这里不妨设u>v）
3、a,b异号时，配方整理成
(x-s)^2/u^2-(y-t)^2/v^2=1的形式
此时表示以(s,t)为中心的双曲线（其形状大略是将反比例函数y=1/x的图像旋转45度得到的图像），它的实轴长为2u，虚轴长为2v
讨论完毕
其实，这个方程还不是最一般的二次曲线方程
最一般的是Ax^2+By^2+Cxy+Dx+Ey+F=0
这里如果xy项存在，将涉及到坐标轴的旋转，比较复杂，在此不作讨论，高中课本、竞赛也不作要求（其中xy=1是最简单的旋转，它是由双曲线x^2-y^2=2逆时针转45度得来）