Question

求证一解析几何的定理.由于二次曲线C：ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0表示圆的充要条件是：a=c≠0；b=

Answer 1

首先, 由λ = (n-m)/(a²+b²), mx²+ny²-1+λ(ax+by+c)(ax-by+k)可展开为A(x²+y²)+Dx+Ey+F.

其中A = (na²+mb²)/(a²+b²) > 0.

直接验证D²+E²-4AF > 0较繁, 改用等价条件: A(x²+y²)+Dx+Ey+F = 0上至少有两个不同点.

而mx²+ny²-1+λ(ax+by+c)(ax-by+k) = 0显然经过mx²+ny² = 1与ax+by+c = 0的交点.

由已知, 二者有两个不同交点, 从而A(x²+y²)+Dx+Ey+F = 0上至少有两个不同点.

因此曲线族中都是过mx²+ny² = 1与ax+by+c = 0的交点的圆.

反之, 设A(x²+y²)+Dx+Ey+F = 0是过mx²+ny² = 1与ax+by+c = 0的交点的圆.

不妨设A = (na²+mb²)/(a²+b²), 则A(x²+y²)+Dx+Ey+F

= mx²+ny²+λ(ax+by)(ax-by)+Dx+Ey+F

= mx²+ny²-1+λ(ax+by+c)(ax-by)+D'x+E'y+F' (其中D' = D-acλ, E' = E+bcλ, F' = F+1).

将mx²+ny² = 1与ax+by+c = 0的交点坐标代入, 可知两个交点都满足D'x+E'y+F' = 0.

而过这两点的直线为ax+by+c = 0, 因此存在实数t使D'x+E'y+F' = t(ax+by+c).

由m ≠ n (椭圆), 有λ = (n-m)/(a²+b²) ≠ 0, 可取k = t/λ.

则A(x²+y²)+Dx+Ey+F

= mx²+ny²-1+λ(ax+by+c)(ax-by)+D'x+E'y+F'

= mx²+ny²-1+λ(ax+by+c)(ax-by)+λk(ax+by+c)

= mx²+ny²-1+λ(ax+by+c)(ax-by+k).

即过mx²+ny² = 1与ax+by+c = 0的交点的圆都在该曲线族中.