求矩阵的特征值及正交单位化特征向量

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  • 1 -2 0

    -2 5 0

    0 0 2

    |A-λE|=

    1-λ -2 0

    -2 5-λ 0

    0 0 2-λ

    = (2-λ)[(1-λ)(5-λ)-4]

    = (2-λ)(λ^2-6λ+1)

    = (2-λ)(λ-(3+2√2))(λ-(3-2√2))

    A 的特征值为 2,3+2√2,3-2√2

    --特征值是无理数 手工计算很麻烦,若可以的话我给你软件计算的结果

    A=

    3 2 -1

    -2 -2 2

    3 6 -1

    |A-λE|=

    3-λ 2 -1

    -2 -2-λ 2

    3 6 -1-λ

    r3-3r1

    3-λ 2 -1

    -2 -2-λ 2

    3λ-6 0 2-λ

    c1+3c3

    -λ 2 -1

    4 -2-λ 2

    0 0 2-λ

    = (2-λ)(λ^2+2λ-8)

    = (2-λ)(λ-2)(λ+4).

    A+4E

    7 2 -1

    -2 2 2

    3 6 3

    -->

    1 0 -1/3

    0 1 2/3

    0 0 0

    得A的属于特征值-4的特征向量 a1=(1,-2,3)^T.

    单位化得 b1=(1/√14,-2/√14,3/√14)^T

    A-2E=

    1 2 -1

    -2 -4 2

    3 6 -3

    -->

    1 2 -1

    0 0 0

    0 0 0

    得A的属于特征值2的特征向量 a2=(1,0,1)^T,a3=(1,-2,-1)^T.

    单位化得 b2=(1/√2,0,1/√2)^T,b3=(1/√6,-2/√6,-1/√6)^T