函数值域(最值)求法小结
一、配方法
适用类型：二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型.
【例1】 求函数 的值域.
为便于计算不妨:配方得:,
利用二次函数的相关知识得 ,从而得出:.
【例2】已知函数y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R,a≠0),求函数y的最小值.
解析：y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2＝(ex＋e－x)2－2a(ex＋e－x)＋2a2－2.
令t＝ex＋e－x,f(t)＝t2－2at＋2a2－2.
∵t≥2,∴f(t)＝t2－2at＋2a2－2＝(t－a)2＋a2－2的定义域为[2,＋∞)．
∵抛物线y＝f(t)的对称轴为t＝a,
∴当a≤2且a≠0时,ymin＝f(2)＝2(a－1)2；
当a＞2时,ymin＝f(a)＝a2－2.
练习 ○1 求y = sin2x - 6sinx + 2值域.
○2 当1≤x≤1000时,求 y＝(lgx)2－2lgx＋3值域.
二、换元法
【例3】 求函数 的值域.
适用类型:无理函数、三角函数（用三角代换）.
解析：由于题中含有 不便于计算,但如果令：注意 从而得：变形得 即：
【例4】 设a,b∈R,a2＋2b2＝6,则a＋b的最小值是______．
∵a,b∈R,a2＋2b2＝6,
∴令a＝6cosα,2b＝6sinα,α∈R.
∴a＋b＝6cosα＋3sinα＝3sin(α＋φ)．
∴a＋b的最小值是－3；故填－3.
练习 ○3 已知 是圆 上的点,试求 的值域.
三、反函数法（变量分类法）
【例5】求函数 的值域.
原式中x∈R,将原式化为 由○1解出x,得 ；（也可由 直接得到 ）
因此函数值域是（－1,1）
四、不等式法
利用不等式法求解函数最值,主要是指运用均值不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法．常常使用的基本不等式有以下几种：
a2＋b2≥2ab(a,b为实数)；a＋b2≥ab(a≥0,b≥0)；ab≤a＋b22≤a2＋b22(a,b为实数)．
【例6】设x,y,z为正实数,x－2y＋3z＝0,则 的最小值为________．
解析：因为x－2y＋3z＝0,所以y＝x＋3z2,因此y2xz＝x2＋9z2＋6xz4xz.
又x,z为正实数,所以由基本不等式,得y2xz≥6xz＋6xz4xz＝3,当且仅当x＝3z时取“＝”．
故y2xz的最小值为3
五、数形结合法
【例7】适用类型:函数本身可和其几何意义相联系的函数类型.
六、判别式法
把函数转化为x的二次方程F(x,y)＝0,通过方程有实根,判别式Δ≥0,从而求得函数的最值．判别式法多用于求形如y＝ax2＋bx＋cdx2＋ex＋f(a,d不同时为0)的分式函数的最值．
【例9】求函数y＝x2－3x＋4x2＋3x＋4的最大值和最小值．
解析：∵x2＋3x＋4＝0的判别式Δ1＝32－4×1×4＝－7＜0,
∴x2＋3x＋4＞0对一切x∈R均成立．∴函数的定义域为R.
∴函数表达式可化为(y－1)x2＋(3y＋3)x＋4y－4＝0.
当y＝1时,x＝0；
当y≠1时,由x∈R,上面的一元二次方程必须有实根,
∴Δ＝(3y＋3)2－4(y－1)(4y－4)≥0,
解得17≤y≤7(y≠1)．综上得ymax＝7,ymin＝17.
七、函数单调性法
【例10】设a＞1,函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为 12,则a＝________.
解析：∵a＞1,∴函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上是增函数,
∴函数在区间[a,2a]上的最大值与最小值分别为loga2a,logaa＝1.
又∵它们的差为12,∴loga2＝12,a＝4.
八、导数法
【例11】函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是________．
解析：因为f′(x)＝3x2－3,所以令f′(x)＝0,得x＝－1(舍正)．
又f(－3)＝－17,f(－1)＝3,f(0)＝1,比较得,f(x)的最大值为3,最小值为－17.