实对称矩阵一定存在相似变换矩阵且是正交矩阵,而正交矩阵的逆等于该正交矩阵的转置,根据矩阵相似与矩阵合同的定义,若矩阵A是实对称矩阵,则一定存在正交矩阵P使得P*(-1)AP=B且P*(T)AP=B.
但是若矩阵A不是实对称矩阵,则矩阵相似与矩阵合同没有关系,因为矩阵A不一定存在变换矩阵P使得A与B相似且合同.
合同和相似是两种不同的关系,绝大多数情况下它们之间是没有什么关系的,直接按照定义理解即可.
嗯,您提的这个问题涉及到合同变换的几何性质……很抱歉的是我只了解正交变换的几何性质,倘若加入正惯性指数这个二次型理论中的概念,那么正交变换是不改变几何图形形状的一种线性变换,这种变换中包含了合同和相似的性质.两矩阵相似指两个矩阵描述了同一线性空间中的同一个线性变换,而矩阵合同的含义……实在抱歉,这个超出了我的线性代数知识范畴……