解题思路：（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到f′（-1）的值，由f（x）在x=-1处的切线与直线为ex+y=0平行可知
f′（-1）=-e，由此求得a的值，把求得的a值代回原导函数，由导函数的符号确定原函数的单调区间；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的函数解析式代入
e
1+x
f(x)＜m
x
2
e
1
x
+e
，整理得到[m/e＞(−
1
x
2
+
1
x
+1)
e
−
1
x]，令
t＝
1
x
换元后由（Ⅰ）中函数的单调性求得g（t）=（-t2+t+1）e-t＜1，则
m
e
≥1
，实数m的取值范围可求．
（Ⅰ）由f（x）=（x2+ax）e-x，得：
f′（x）=（-x2-ax+2x+a）e-x，
∴f′（-1）=（2a-3）e．
∵f（x）在x=-1处的切线与直线为ex+y=0平行，
∴（2a-3）e=-e．解得a=1．
∴f′（x）=（-x2+x+1）e-x．
由f′（x）＞0，得
1−
5
2＜x＜
1+
5
2，
f′（x）＜0，得x＜
1−
5
2或x＞
1+
5
2．
∴f（x）的单调增区间为(
1−
5
2，
1+
5
2)；
单调减区间为(−∞，
1−
5
2)，(
点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了不等式恒成立问题，体现了换元、数学转化等数学思想方法，是压轴题．
1年前
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